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Introduction to the Linear Algebra over the Quaternion Field선형대수학 2024. 5. 1. 18:46
이 글은 Helmer Aslaksen의 글 Quaternionic Determinants의 Study's determinant 부분까지 정리한 것이다.1. IntroductionQuaternion field는 다음과 같이 정의되는 대수 구조이다.$$\mathbb{H}=\{a+ib+jc+kd \mid a,b,c,d\in\mathbb{R}\}$$덧셈: $(a+ib+jc+kd)+(x+iy+jz+kw)=(a+x)+i(b+y)+j(c+z)+k(d+w)$곰셈: $(a+ib+jc+kd)(x+iy+jz+kw)$$=(ax-by-cz-dw)+i(ay+bx+cw-dz)+j(az-bw+cx+dy)+k(aw+bz-cy+dx)$ 간단하게는 $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$인 허수단위 $i,j,k$를 정의해 일반적인 덧셈/곱셈..
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3. Subgroups, Cyclic Groups추상대수학 2024. 2. 19. 02:43
Subgroup 어떤 대수구조의 부분집합이 그 대수구조의 연산(들)에 대해서 같은 대수구조가 될 때, 그 부분집합을 부분(대수구조의 이름)으로 쓴다. 예를 들어 부분군, 부분환 등이 있다. 벡터공간의 부분공간도 하나의 예시이다. 보통 대수구조 $X$의 부분구조 $Y$는 $Y\le X$로 표기하며, $X\ne Y$인 경우 $Y m\in \mathbb{N}:a^n=a^m$, 따라서 $a^{n-m}=e$, 즉 $e\in H$. $n-m=k$일 때 $a^{k-1}=a^{-1}$이므로 $a^{-1}\in H$. 따라서 $H\le G$. Cyclic Subgroup $G$의 원소 $a$를 포함하는 가장 작은 부분군은 대충 생각해봐도 $\{a^n\mid n\in\mathbb{Z}\}$가 될 것 같다. 이때 어떤 조건..
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2. Isomorphisms, Examples추상대수학 2024. 2. 15. 21:17
Homomorphism Homomorphism(준동형 사상)은 연산 또는 대수적 구조를 보존하는 함수이다. 현재는 군 준동형 사상만 본다. 제목이 isomorphism인 것은 이 글에서는 isomorphism만 보지만, homomorphism을 나중에 정의하기 귀찮기 때문이다. Def. 군 $(G,\cdot)$과 $(G',\cdot')$에 대해 함수 $\phi: G\to G'$가 $\forall a,b\in G, \phi(a\cdot b)=\phi(a)\cdot'\phi(b)$이면 $\phi$를 group homomorphism(군 준동형 사상)이라 한다. 준동형 사상에서 특별히 단사이면, monomorphism(단사 사상) 전사이면, epimorphism(전사 사상) 전단사이면, isomorphism(..
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1. Groups추상대수학 2024. 2. 12. 02:57
이 장에서는 군의 정의와 몇 가지 예시를 소개한다. Def. (마그마의 정의) 집합 $M$과 그 위에서 정의된 이항 연산 $\cdot$이 다음 조건을 만족하면 $(M,\cdot )$을 magma(마그마)라 한다. $\forall a,b\in M \Longrightarrow a\cdot b\in M$ 마그마는 가장 기초적인 대수 구조로, 연산이 집합에 대해 닫혀 있기만 하면 그 집합과 연산을 마그마라 한다. Def. (반군의 정의) 집합 $S$와 그 위에서 정의된 이항 연산 $\cdot$이 다음 조건을 만족하면 $(S, \cdot )$을 semigroup(반군)이라 한다. $(S, \cdot)$은 마그마. 결합법칙: $\forall a,b,c\in S, (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\c..
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0. Relations, Binary Operations추상대수학 2024. 2. 11. 03:14
Set 집합은 굳이 할 말이 없다. 집합이 잘 정의되어 있는 것은 모두가 안다. 짚고 넘어가야 할 집합과 관련한 정의는 아래의 몇 개 뿐이다. $S$의 공집합이 아닌 부분집합들의 집합 $\mathcal{P}$에 대해서, $S$의 임의의 원소는 $\mathcal{P}$의 딱 하나의 원소에만 포함되면 $\mathcal{P}$를 $S$의 partition이라 하고, $\mathcal{P}$의 원소들을 각각 cell이라 한다. $\bar{x}$를 $S$의 partition에서 $x$를 포함하는 cell로 정의한다. Relation Relation은 우리가 아는 $=$나 $
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CodeTON Round 1 (Div. 1 + Div. 2)코딩 2022. 3. 26. 17:45
이번에 CodeTON Round 1에서 5솔, 308등으로 레드퍼포를 띄웠습니다. 처음에는 A와 C에서 1번씩 틀려서 망했다고 생각했지만, D와 E에서 생각보다 빠르게 답을 찾아서 운 좋게 잘 볼 수 있었던 것 같습니다. 아무래도 Div.1+Div.2다 보니 퍼포가 높게 찍히기도 했네요. 아래는 풀이입니다. A. Good Pairs 일반성을 잃지 않고 $a_i\leq a_j$라 하면, 수식을 분석했을 때 $a_i\leq a_k \leq a_j$가 수식이 성립할 필요충분조건임을 쉽게 알 수 있습니다. 따라서 배열 중 최댓값과 최솟값의 인덱스를 고르면 됩니다. 더보기 (정렬해도 되는 문젠데 이렇게 풀어서 시간도 뺏기고 한 번 틀렸습니다.) #include using namespace std; typedef ..
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백준 16238: 독수리코딩 2022. 3. 9. 14:17
https://www.acmicpc.net/problem/16238 16238번: 독수리 첫째 날 1번 칸의 왼쪽에서 날기 시작해 2번 칸의 양을 먹는다. 독수리가 먹은 양의 수는 10마리이다. 2번 칸에 있는 양을 먹었기 때문에, 1번, 2번 칸의 양의 수는 0이 된다. 첫째 날의 밤에 양의 수 www.acmicpc.net 풀이 물론 문제 조건에서는 왼쪽 또는 오른쪽에서 날기 시작할 수 있다고 했지만, 사실 관찰을 해보면 왼쪽에서만 날기 시작해도 정답에 영향을 주지 않습니다. 즉, 정해가 왼쪽과 오른쪽에서 날기 시작하는 것이 섞여있는 것이라면 그 위치들을 오름차순 정렬하여 순서대로 먹는 것도 같은 결과를 보여줍니다. 증명은 쉬우므로 생략하겠습니다. 위의 관찰을 하면 쉽게 dp로 풀 수 있습니다(기여창을..