2. Isomorphisms, Examples

Homomorphism

Homomorphism(준동형 사상)은 연산 또는 대수적 구조를 보존하는 함수이다. 현재는 군 준동형 사상만 본다. 제목이 isomorphism인 것은 이 글에서는 isomorphism만 보지만, homomorphism을 나중에 정의하기 귀찮기 때문이다.

Def. 군 $(G,\cdot)$과 $(G',\cdot')$에 대해 함수 $\phi: G\to G'$가 $\forall a,b\in G, \phi(a\cdot b)=\phi(a)\cdot'\phi(b)$이면 $\phi$를 group homomorphism(군 준동형 사상)이라 한다.

 

준동형 사상에서 특별히

• 단사이면, monomorphism(단사 사상)
• 전사이면, epimorphism(전사 사상)
• 전단사이면, isomorphism(동형 사상)
• $G=G'$이면, endomorphism(자기 사상)
• 자기 사상이면서 동형 사상이면, automorphism(자기 동형 사상)

 

이라고 쓴다. 준동형 사상의 성질은 나중에 언젠간 나온다. 이번 장에서는 동형 사상에 주목한다.

 

Def. 두 대수 구조 사이에 동형 사상이 존재하면 그 둘을 isomorphic하다(동형이라)고 한다. 대수 구조 사이의 관계 $\cong$는 $G\cong G'$가 $G$와 $G'$이 동형일 경우 참인 관계이다.

 

$\cong$는 동치 관계이다. 증명은 생략한다. $\cong$를 쓸 때 연산도 같이 나타내기도 한다.

두 대수 구조가 동형이라는 것은 사실상 둘은 같은 것이라는 뜻이다. 즉, 한 대수 구조에 대해 어떤 성질이 성립하는 것과 동형인 다른 대수 구조에 대해서도 그 성질이 성립하는 것은 동치이다.

 

Klein 4-group

클라인 4원군은 이전 글에서 정의했다. $\mathbb{Z}_4$에서 클라인 4원군 $V$로 가는 모든 전단사 사상을 시도해보면 둘이 동형이 아님을 알 수 있다. 또한 다음 정리가 성립한다.

 

Thm. 원소가 4개인 군은 동형인 것을 제외하면 $\mathbb{Z}_4$와 클라인 4원군 $V$ 밖에 없다.

 

이것도 약간 뒤쪽에 exercise로 남겨져 있을 건데, 그냥 다 해봐서 보이면 된다.

 

Unit Circle

에 대한 이야기를 하기 전 아래와 같은 아벨군을 생각해본다.

 

Def. 양수 $c$에 대해 아벨군 $(\mathbb{R}_c, +_c)$를 아래와 같이 정의한다.

• $\mathbb{R}_c=[0,c)$
• $\displaystyle +_c=\begin{cases} a+b & (a+b<c) \\ a+b-c & (a+b\ge c)\end{cases}$

 

$\mathbb{Z}_n$의 실수 버전이다. 이전 글에 있는 $(U,\cdot)$과 비교했을 때 비슷한 것이 있다.

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Thm. 임의의 양수 $c$에 대해 $(\mathbb{R}_c, +_c)\cong (U,\cdot)$.

Proof. 함수 $\phi:\mathbb{R}_c\to U$를 $\phi(x)=e^{\frac{2\pi}{c}xi}=\cos\left(\frac{2\pi}{c}x\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{c}x\right)$로 정의하면 $\phi$는 준동형 사상이며 전단사, 즉 동형 사상.

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Def. 양의 정수 $n$에 대해 아벨군 $(U_n,\cdot)$를 $U_n=\{z\in\mathbb{C}\mid z^n=1\}$과 복소수 곱셈 $\cdot$으로 정의한다.

 

$\zeta=e^{\frac{2\pi}{n}i}$로 생각하면 $U_n=\{\zeta^m\mid 0\le m\le n-1\}$과도 같다. 위와 비슷하게 함수 $\phi: \mathbb{Z}_n\to U_n$을 $\phi(m)=\zeta^m$으로 정의하면 $\phi$는 $(\mathbb{Z}_n,+_n)$에서 $(U_n,\cdot)$으로 가는 동형 사상이다.

 

Permutation

Def. 함수 $\phi:A\to A$가 전단사일 때 $\phi$를 permutation of a set $A$(집합 $A$의 순열)이라 한다.

 

집합 $A$의 순열 $\sigma$, $\tau$에 대해 permutation multiplication(순열곱) $\sigma\tau=\sigma\circ\tau$로 정의한다. 즉 $\sigma\tau(x)=\sigma(\tau(x))$. 그럼 다음 정리가 성립한다.

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Thm. 집합 $A\ne\varnothing$의 모든 순열의 집합 $S_A$는 순열곱 아래에서 정의된 군.

Proof. 군의 조건을 보인다. 순열곱은 전단사함수의 합성이므로, 결과로 전단사함수가 나오므로 $S_A$는 순열곱에 대해 닫혀 있다. 함수의 합성은 결합법칙이 성립한다. $\iota(x)=x$로 정의하면 $\iota\in S_A$는 항등원이다. 순열 $\sigma$의 역함수 $\sigma^{-1}$은 정의되고 전단사이며, $\sigma\sigma^{-1}=\sigma^{-1}\sigma=\iota$이므로 역원이 존재한다.

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Def. 유한집합 $A=\{1,2,\cdots,n\}$의 순열군을 $n$차 대칭군 $S_n$ 또는 $\mathrm{Sym}(n)$이라 표기한다.

 

$|S_n|=n!$인 것은 자명하다. 순열의 표기는 2행 표기법으로 쓴다. 예를 들어, $\sigma\in S_3$에서 $\sigma(1)=1$, $\sigma(2)=3$, $\sigma(3)=2$이면 $\displaystyle \sigma=\begin{pmatrix} 1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}$로 표기한다.

 

순열을 cycle들로 분할할 수 있음은 잘 알려져 있다. 예를 들어 순열 $\displaystyle\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\3&4&6&2&5&1\end{pmatrix}$는 $1\to3\to6\to1$, $2\to4\to2$, $5\to5$의 3개의 사이클로 분할할 수 있다. 사이클이 $k$개의 원소를 가지면 이를 $k$-cycle이라 한다.

이렇게 사이클로 분할한 것을 통하여 순열 $\sigma$를 다른 방식으로 나타낼 수 있다. 하나의 사이클 $c_1\to c_2\to \cdots\to c_k\to c_1$은 $(c_1,c_2,\cdots,c_k)$로 표기하며, 여러 개의 사이클로 구성된 순열은 그 사이클을 곱하여 나타낼 수 있다. $1$-cycle은 표기할 필요가 없으므로 생략한다. 이와 같이 나타내면 $\sigma=(1,3,5)(4,2)$와 같이 쓸 수 있다. 이를 disjoint cycle notation이라 한다. 특별히 $2$-cycle은 transposition(전치)라 한다. 겹치는 원소가 없는 사이클들을 disjoint(서로소)라고 한다. 당연하게도 서로소인 두 사이클 사이에서는 교환법칙이 성립한다.

disjoint cycle notation으로 순열을 표기하면 그 역원을 사이클 내부의 순서만 반대로 하는 것으로 구할 수 있다. 순열군에 대한 더 자세한 내용은 나중에 다룬다.

 

Dihedral Group

$P_n$을 꼭짓점에 $0$부터 $n-1$까지 번호가 순서대로 붙은 정$n$각형이라 하자. $U_n$의 $\zeta^m$을 생각해봐도 좋다. 중요한 것은 $k$와 $k+_n 1$를 잇는 $P_n$의 변이 있다는 것. 이를 통해 이면군을 정의한다.

 

Def. 정수 $n\ge 3$에 대해, 전단사함수 $\phi:\mathbb{Z}_n\to\mathbb{Z_n}$ 중 $(i, j)$가 $P_n$의 변일 때, $(\phi(i), \phi(j))$가 $P_n$의 변이 되는 모든 $\phi$들의 집합을 $D_n$이라 정의한다. $n$th dihedral group($n$차 이면군)은 $D_n$과 그 위에서 정의된 함수 합성 이항연산 $\circ$로 정의되는 곱셈군이다.

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Thm. $n\ge 3$인 모든 정수 $n$에 대해 $(D_n, \circ)$은 군.

Proof. $\forall \phi,\theta\in D_n,\ (i,j)$가 $P_n$의 변이므로 $(\theta(i), \theta(j))$가 $P_n$의 변, 따라서 $(\phi\theta(i), \phi\theta(j))$가 $P_n$의 변, 따라서 $D_n$은 $\circ$에 대해 닫혀 있다. 함수의 합성은 결합법칙이 성립한다. $\iota(k)=k$으로 정의하면 $\iota$는 항등원이다. $\phi$의 역함수 $\phi^{-1}$은 $D_n$의 원소이며 $\phi$의 역원이다.

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$\rho(k)=k+_n 1$로 정의하자. 그러면 $\rho\in D_n$이다. $\rho$는 $P_n$을 $1$칸 돌리는 효과를 가진다.

$\mu(k)=-k$로 정의하자. 그러면 $\mu\in D_n$이다. $\mu$는 $P_n(U_n)$을 $x$축에 대해 대칭시키는 효과를 가진다. 

대충 생각해도 $\mu\rho\ne\rho\mu$이다. 따라서 $D_n$은 비가환군이다.

위의 특수한 두 예시를 든 것은 아래의 정리 때문이다.

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Thm. $n\ge 3$인 모든 정수 $n$에 대해 $|D_n|=2n$이며, 그 원소들은 아래 식과 같다.

$$D_n=\{\iota,\rho,\rho^2,\cdots,\rho^{n-1},\mu,\mu\rho,\mu\rho^2,\cdots,\mu\rho^{n-1}\}$$

Proof. $P_n$이 가질 수 있는 상태의 개수는 $2n$개이므로, $|D_n|\le 2n$.

위 식에 표기된 원소들은 모두 $D_n$의 원소이다($D_n$이 군이므로). 따라서 이들이 모두 서로 다르다는 것을 보이면 끝.

정수 $0\le k\le n-1,0\le r\le n-1$에 대해 $\rho^k=\rho^r\Longrightarrow\rho^k(0)=\rho^r(0)\Longrightarrow k=k+_n 0=r+_n 0=r$. 군의 소거 법칙에 의해 $\mu\rho^k=\mu\rho^r\Longrightarrow \rho^k=\rho^r\Longrightarrow k=r$. 마지막으로 $\mu\rho^k=\rho^r$이면 0과 1에서의 함숫값을 비교해도 되고, $\mu$에 의해 $P_n$의 방향이 시계방향으로 바뀌었으므로 같을 수 없다고 해도 된다. 따라서 위 원소들은 모두 서로 다르므로 증명 끝.

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$\mu$와 $\rho$의 성질로 마무리한다.

• $\rho^n=\iota$
• $(\rho^k)^{-1}=\rho^{n-k}$
• $\mu^2=\iota$
• $\rho^k\mu=\mu\rho^{n-k}$