3. Subgroups, Cyclic Groups

Subgroup

어떤 대수구조의 부분집합이 그 대수구조의 연산(들)에 대해서 같은 대수구조가 될 때, 그 부분집합을 부분(대수구조의 이름)으로 쓴다. 예를 들어 부분군, 부분환 등이 있다. 벡터공간의 부분공간도 하나의 예시이다. 보통 대수구조 $X$의 부분구조 $Y$는 $Y\le X$로 표기하며, $X\ne Y$인 경우 $Y<X$로 표기한다. 지금은 군의 경우만 생각한다.

 

Def. 군 $(G,\cdot)$의 부분집합 $H$가 $G$의 이항연산의 정의역을 $H\times H$로 축소시킨 이항연산에 대한 군이면 $H$를, 또는 $(H,\cdot)$을 $G$의 subgroup(부분군)이라 한다. $H$가 $G$의 부분군일 때, $H\le G$ 또는 $G\ge H$로 나타내며, 특별히 $H\ne G$인 부분군이면 $H<G$ 또는 $G>H$라 표기하고, $H$를 $G$의 proper subgroup(진부분군)이라 한다.

 

위의 정의에 따라 $G$는 $G$의 부분군이다. 또한 $G$의 항등원 $e$에 대해 $\{e\}$도 $G$의 부분군이며, 이를 trivial subgroup(자명부분군)이라 한다.

 

다음은 부분군의 판정법에 대한 정리이다.

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Thm. 군 $(G,\cdot)$의 부분집합 $H$가 부분군인 것은 아래 세 조건을 만족하는 것과 동치.

• $H$는 $\cdot$에 대해 닫혀 있음.
• 항등원 $e$에 대해 $e\in H$.
• $\forall a\in H, a^{-1}\in H$.

 

Proof. $H\le G$이면 위 세 조건을 만족한다. 반대로, 세 조건을 만족하는 부분집합 $H$에 대해 $(H,\cdot)$은 반군이며, 항등원이 있으므로 모노이드이고, 역원이 있으므로 군이다. 따라서 $H\le G$.

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Thm. 군 $(G, \cdot)$의 공집합이 아닌 부분집합 $H$가 $G$의 부분군인 것은 $\forall a,b\in H, ab^{-1}\in H$인 것과 동치.

Proof. $H\le G$이면 당연히 성립. $H$가 오른쪽 조건을 만족하면 $a=b$일 때 $e\in H$, 따라서 $a=e$일 때 $\forall b\in H, b^{-1}\in H$, 따라서 $\forall a,b\in H, b^{-1}\in H$ 즉 $ab=a(b^{-1})^{-1}\in H$이므로 $H\le G$.

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Thm. 군 $(G, \cdot)$의 공집합이 아닌 유한한 부분집합 $H$가 $G$의 부분군인 것은 $H$가 $\cdot$에 대해 닫혀 있는 것과 동치.

Proof. 정방향은 자명. 역은 $\forall a\in H$에 대해 $\{a^n \mid n\in \mathbb{Z}^+\}\subset H$이며 $H$가 유한하므로 $\exists n> m\in \mathbb{N}:a^n=a^m$, 따라서 $a^{n-m}=e$, 즉 $e\in H$. $n-m=k$일 때 $a^{k-1}=a^{-1}$이므로 $a^{-1}\in H$. 따라서 $H\le G$.

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Cyclic Subgroup

$G$의 원소 $a$를 포함하는 가장 작은 부분군은 대충 생각해봐도 $\{a^n\mid n\in\mathbb{Z}\}$가 될 것 같다. 이때 어떤 조건 $P$를 만족하는 '가장 작은' 또는 '최소의' 부분집합 $H$는 $P$를 만족하는 모든 부분집합 $K$에 대해 $H\subseteq K$를 만족하는 부분집합이다.

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Thm. 군 $G$와 원소 $a\in G$에 대해 $H=\{ a^n \mid n\in\mathbb{Z}\}$은 $G$의 부분군이며, $a$를 포함하는 최소의 부분군이다.

Proof. $H$는 연산에 대해 닫혀 있고, $a^0=e\in H$이며, $(a^n)^{-1}=a^{-n}\in H$이므로 $H\le G$. $a$를 포함하는 부분군은 $a^n (n\in\mathbb{Z}^+)$과 $e=a^0$, $a^{-1}$, $a^{-n}=(a^{-1})^n (n\in\mathbb{Z}^+)$을 모두 포함하므로 $H$를 부분집합으로 가짐.

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Def. 군 $G$와 원소 $a\in G$에 대해 $\{a^n \mid n\in\mathbb{Z}\}$를 cyclic subgroup of $G$ generated by $a$($a$로부터 생성된 순환부분군)이라 하며, $\left< a\right>$로 나타낸다.

 

Def. 군 $G$의 원소 $a$가 $\left< a\right>=G$이면 $a$가 $G$를 생성한다고 하며, $a$를 $G$의 generator(생성원)이라고 하고, 그런 $a$가 존재하는 $G$를 cyclic group(순환군)이라 한다. 

 

Def. 군 $G$의 원소 $a$에 대해 $\left<a\right>$가 유한집합이면 $\left|\left<a\right>\right|$를 $a$의 order(위수/차수) 라고 한다. 무한하면 무한위수를 가진다고 한다.

Cyclic Group

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Thm. 모든 순환군은 아벨군.

Proof. 순환군 $G=\left<g\right>$에 대해 $G$의 두 원소 $g_1=g^r,g_2=g^s$가 $g_1g_2=g^{r+s}=g_2g_1$이므로 교환법칙이 성립.

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아벨군이지만 순환군은 곱셈군으로 쓰는 것이 편하다. Fraleigh에는 이 이후 나머지 정리의 증명이 나오지만 초등적인 정수론은 생략한다.

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Thm. 순환군의 부분군은 모두 순환군.

Proof. $G=\left<g\right>\ge H$라 하자. $H=\{e\}$이면 $H=\left<e\right>$이므로 순환군이다. $H\ne\{e\}$이면 $g^n\in H$를 만족하는 최소의 양의 정수 $n$이 존재한다. 그럼 $\forall g^m\in H$에 대해 $m=nq+r,0\le r<n$인 정수 $q$, $r$이 존재한다. $g^{-nq}=(g^{-n})^q\in H$이므로 $g^r=g^{m-nq}\in H$이며, 따라서 $r=0$, 즉 $n\vert m$, $H\subseteq\left<g^n\right>$. 또한 $\left<g^n\right>\subseteq H$이므로 $H=\left<g^n\right>$.

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Corollary. $(\mathbb{Z},+)$의 부분군은 $n\mathbb{Z}$($n\in\mathbb{Z}$)꼴로 존재.

Proof. $\mathbb{Z}=\left<1\right>$이므로 위 정리에 의해 자명.

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Fraleigh에서는 위 따름정리와 베주 항등식을 가지고 gcd를 정의한다. 

그냥 $d=(a,b)\Longleftrightarrow\{ax+by\mid x,y\in\mathbb{Z}\}=\left<d\right>$인 것을 보여주고 싶어서 그렇게 정의한 것 같다. 굳이 최대공약수의 정의를 망가뜨리고 싶지 않으므로 언급만 하고 넘어간다.

 

이젠 순환군의 구조를 살펴본다.

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Thm. $G=\left<g\right>$일 때, $G$가 무한위수를 가지면 $(G,\cdot)\cong (\mathbb{Z},+)$이며, 위수가 $n$이면 $(G,\cdot)\cong(\mathbb{Z}_n,+_n)$이다.

Proof. $g$가 무한위수를 가지면 $\forall n\in\mathbb{Z}^+,g^n\ne e$를 만족한다. 또한 $\forall a,b\in\mathbb{Z}, a\ne b\Longleftrightarrow g^a\ne g^b$이므로 함수 $\phi:G\to\mathbb{Z}$, $\phi(g^n)=n$은 잘 정의되고, 준동형 사상이며, 일대일대응이다. 따라서 $G$는 $(\mathbb{Z},+)$와 동형.

$g$의 위수가 $n$이면 $g^n=e$이고 $G=\{g^j\mid 0\le j\le n-1\}$임이 증명가능하다(위수가 유한하므로 어떤 양의 정수 $m$에 대해 $g^m=e$이고, 최소의 $m$을 잡아 $n$임을 보이면 된다). 그럼 함수 $\phi:G\to\mathbb{Z}_n$, $\phi(g^j)=j$ $(0\le j\le n-1)$은 잘 정의되고 준동형 사상이며, 일대일대응이다. 따라서 $G$는 $(\mathbb{Z}_n,+_n)$과 동형.

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초등적인 정수론의 위수와 원시근 부분이 이 부분에 거의 포함되기에 하는 증명이 다 거기서 거기다. 굳이 다음 정리의 증명을 써야 하나 싶지만 그래도 필기한다.

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Thm. $G=\left<g\right>$이 위수 $n$을 가진다고 하자. $b\in G$가 $b=g^s$이면 $b$의 위수는 $\frac{n}{(s, n)}$이다. 또, $\left<g^s\right>=\left<g^t\right>$일 필요충분조건은 $(s,n)=(t,n)$인 것이다.

Proof. $b^m=e$인 최소의 양의 정수 $m$이 $b$의 위수이다. $b^m=g^ms=e$이므로 $n\vert ms$이고, $\frac{n}{(s,n)}\vert m$이다. 또한 $m=\frac{n}{(s,n)}$에서 $b^m=g^{n\frac{s}{(n,s)}}=e$이므로 성립한다.

$G$는 $\mathbb{Z}_n$과 동형이므로 $\mathbb{Z}_n$에서 생각하면 원소 개수가 $n/d$개인 부분군은 $\left<d\right>$밖에 없다. 따라서 뒷명제가 성립.

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Corollary. $G=\left<g\right>$일 때, $a=g^s\in G$가 $\left<a\right>=G$일 필요충분조건은 $(s,n)=1$.

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Corollary. $G$가 순환군일 때, $H\le G$이면 $|H|$는 $|G|$의 약수.

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마지막 따름정리는 순환군이 아니더라도 성립하지만, 그의 증명에 대해선 나중에 다룬다.

 

Generating Set

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Thm. 군 $G$의 부분군들 $H_i$ $(i\in I)$들의 교집합 $\displaystyle\bigcap_{i\in I} H_i$은 $G$의 부분군.

Proof. 자명하므로 생략.

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위 정리는 $G$의 부분집합 $S$를 부분집합으로 가지는 모든 부분군들의 교집합을 구했을 때 $S$를 포함하는 최소의 부분군을 잡을 수 있다는 것을 명시해준다.

 

Def. 군 $G$의 원소들 $\{a_i\mid i\in I\}$가 생성하는 부분군을 $S=\{a_i\mid i\in I\}$를 포함하는 최소의 부분군으로 정의한다. 그 부분군이 $G$일 경우, $S$가 $G$를 생성한다고 하며, $a_i$들을 $G$의 생성원이라 한다. 만일 유한집합 $S$가 $G$를 생성하면, $G$를 finitely generated(유한생성)이라고 한다.

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Thm. 군 $G$의 원소들 $a_i\in G$ $(i\in I\ne\varnothing)$이 생성하는 부분군은 유한 개의 $a_i$들의 정수승의 곱의 집합이다.

Proof. 부분군의 조건을 모두 보이면 된다. 생략.

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이후에 나오는 homomorphism은 여기에 넣기도 다음 파트에 넣기도 애매하다. 다음 섹션에 넣어놓은 Fraleigh에게 큰 뜻이 있을 것이라 믿기에 다음 글에서 다룬다.