추상대수학
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3. Subgroups, Cyclic Groups추상대수학 2024. 2. 19. 02:43
Subgroup 어떤 대수구조의 부분집합이 그 대수구조의 연산(들)에 대해서 같은 대수구조가 될 때, 그 부분집합을 부분(대수구조의 이름)으로 쓴다. 예를 들어 부분군, 부분환 등이 있다. 벡터공간의 부분공간도 하나의 예시이다. 보통 대수구조 $X$의 부분구조 $Y$는 $Y\le X$로 표기하며, $X\ne Y$인 경우 $Y m\in \mathbb{N}:a^n=a^m$, 따라서 $a^{n-m}=e$, 즉 $e\in H$. $n-m=k$일 때 $a^{k-1}=a^{-1}$이므로 $a^{-1}\in H$. 따라서 $H\le G$. Cyclic Subgroup $G$의 원소 $a$를 포함하는 가장 작은 부분군은 대충 생각해봐도 $\{a^n\mid n\in\mathbb{Z}\}$가 될 것 같다. 이때 어떤 조건..
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2. Isomorphisms, Examples추상대수학 2024. 2. 15. 21:17
Homomorphism Homomorphism(준동형 사상)은 연산 또는 대수적 구조를 보존하는 함수이다. 현재는 군 준동형 사상만 본다. 제목이 isomorphism인 것은 이 글에서는 isomorphism만 보지만, homomorphism을 나중에 정의하기 귀찮기 때문이다. Def. 군 $(G,\cdot)$과 $(G',\cdot')$에 대해 함수 $\phi: G\to G'$가 $\forall a,b\in G, \phi(a\cdot b)=\phi(a)\cdot'\phi(b)$이면 $\phi$를 group homomorphism(군 준동형 사상)이라 한다. 준동형 사상에서 특별히 단사이면, monomorphism(단사 사상) 전사이면, epimorphism(전사 사상) 전단사이면, isomorphism(..
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1. Groups추상대수학 2024. 2. 12. 02:57
이 장에서는 군의 정의와 몇 가지 예시를 소개한다. Def. (마그마의 정의) 집합 $M$과 그 위에서 정의된 이항 연산 $\cdot$이 다음 조건을 만족하면 $(M,\cdot )$을 magma(마그마)라 한다. $\forall a,b\in M \Longrightarrow a\cdot b\in M$ 마그마는 가장 기초적인 대수 구조로, 연산이 집합에 대해 닫혀 있기만 하면 그 집합과 연산을 마그마라 한다. Def. (반군의 정의) 집합 $S$와 그 위에서 정의된 이항 연산 $\cdot$이 다음 조건을 만족하면 $(S, \cdot )$을 semigroup(반군)이라 한다. $(S, \cdot)$은 마그마. 결합법칙: $\forall a,b,c\in S, (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\c..
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0. Relations, Binary Operations추상대수학 2024. 2. 11. 03:14
Set 집합은 굳이 할 말이 없다. 집합이 잘 정의되어 있는 것은 모두가 안다. 짚고 넘어가야 할 집합과 관련한 정의는 아래의 몇 개 뿐이다. $S$의 공집합이 아닌 부분집합들의 집합 $\mathcal{P}$에 대해서, $S$의 임의의 원소는 $\mathcal{P}$의 딱 하나의 원소에만 포함되면 $\mathcal{P}$를 $S$의 partition이라 하고, $\mathcal{P}$의 원소들을 각각 cell이라 한다. $\bar{x}$를 $S$의 partition에서 $x$를 포함하는 cell로 정의한다. Relation Relation은 우리가 아는 $=$나 $