1. Groups

이 장에서는 군의 정의와 몇 가지 예시를 소개한다.

 

Def. (마그마의 정의) 집합 $M$과 그 위에서 정의된 이항 연산 $\cdot$이 다음 조건을 만족하면 $(M,\cdot )$을 magma(마그마)라 한다.

• $\forall a,b\in M \Longrightarrow a\cdot b\in M$

 

마그마는 가장 기초적인 대수 구조로, 연산이 집합에 대해 닫혀 있기만 하면 그 집합과 연산을 마그마라 한다.

 

Def. (반군의 정의) 집합 $S$와 그 위에서 정의된 이항 연산 $\cdot$이 다음 조건을 만족하면 $(S, \cdot )$을 semigroup(반군)이라 한다.

• $(S, \cdot)$은 마그마.
• 결합법칙: $\forall a,b,c\in S, (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

 

Def. (모노이드의 정의) 집합 $S$와 그 위에서 정의된 이항 연산 $\cdot$이 다음 조건을 만족하면 $(S, \cdot)$을 monoid(모노이드)라 한다.

• $(S, \cdot)$은 반군.
• 항등원: $\exists e\in S: \forall a\in S, e\cdot a=a\cdot e=a$

 

이들은 이 책에선 크게 다루지 않는다. 중요한 것은 아래 정의이므로 풀어서 나열한다. 대수 구조 내에서 연산이 닫혀 있음의 언급은 이제부터 생략한다.

 

Def. (군의 정의) 집합 $G$와 이항 연산 $\cdot: G\times G\to G$가 다음 조건을 만족하면 $(G, \cdot)$을 group(군)이라 한다.

• 결합법칙: $\forall a,b,c\in G, (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
• 항등원: $\exists e\in G: \forall a\in G, e\cdot a=a\cdot e=a$
• 역원: $\forall a\in G, \exists a'\in G: a\cdot a'=a'\cdot a=e$

 

즉 군은 모노이드에서 역원의 존재성이 추가된 대수 구조이다.

 

Def. (아벨군의 정의) 집합 $G$와 이항 연산 $\cdot: G\times G\to G$가 다음 조건을 만족하면 $(G, \cdot)$을 Abelian group(아벨군) 또는 commutative group(가환군)이라 한다.

• $(G, \cdot)$은 군.
• 교환법칙: $\forall a,b\in G, a\cdot b=b\cdot a$

 

정의들 뒤에 기술되는 몇 가지 정리들은 아래와 같은 자명한 것들 뿐이므로 하나만 쓰고 생략한다.

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Thm. 군에서는 왼쪽과 오른쪽 소거 법칙이 성립한다.

Proof. 군의 역원 존재성에 의해 성립.

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군의 이항 연산 $\cdot$은 곱셈과 같이 생략하여 $a\cdot b$를 $ab$로 쓰는 경향이 있다. 앞으로는 이항 연산 표기가 중요치 않으면 이렇게 표기한다. 이때 역원은 $a^{-1}$로 표기하는게 일반적이다.

아벨군의 이항 연산 $\cdot$은 가환이기 때문에 $+$기호로 많이 쓴다($a+b\ne b+a$인 경우는 보통 쓰지 않는다). 앞으로는 $(G, +)$는 모두 아벨군을 나타내며, 이때 역원은 $-a$로 표기한다.

다음 정리는 재밌지만 증명이 안 나오는 정리이다.

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Thm. 다음으로 정의되는 대수 구조 $(G, \cdot)$은 군이다.

• $\cdot$은 결합법칙이 성립.
• 좌항등원: $\exists e\in G:\forall a\in G, ea=a$
• 좌역원: $\forall a\in G,\exists a'\in G: a'a=e$

 

Proof. 좌항등원이 우항등원이고, 좌역원이 우역원임을 보인다.

임의의 $a\in G$에 대해 $a$의 좌역원을 $a'$, $a'$의 좌역원을 $a''$이라 한다.

$aa'=eaa'=(a''a')aa'= a''((a'a)a')=a''a'=e$, 따라서 좌역원은 우역원.

$ae=aa'a=ea=e$, 따라서 좌항등원은 우항등원.

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예시 몇 가지를 들어보자.

 

Example. 다음과 같이 정의되는 $(\mathbb{Z}_n, +_n)$는 아벨군.

• $\mathbb{Z}_n=\{0,1,\cdots,n-1\}$
• $\displaystyle a+_n b=\begin{cases} a+b & (a+b<n) \\ a+b-n & (a+b\ge n) \end{cases}$

 

Example. 다음 표와 같이 연산이 정의되는 Klein 4-group(클라인 4원군) $(V, \cdot)$은 아벨군.

$\cdot$	$e$	$a$	$b$	$c$
$e$	$e$	$a$	$b$	$c$
$a$	$a$	$e$	$c$	$b$
$b$	$b$	$c$	$e$	$a$
$c$	$c$	$b$	$a$	$e$

 

Example. 집합 $U=\{z\in\mathbb{C}\mid |z|=1\}$와 복소수 곱셈 $\cdot$으로 정의되는 $(U, \cdot)$은 아벨군.

 

아래는 표기의 정리이다. 나오는 명제들의 증명은 생략한다.

 

$(G, \cdot)$이 군일 때,

• 항등원: $e$ 또는 $1$
• 역원: $a^{-1}$
• $a$ $k$개에 연산을 한 것($k\in\mathbb{N}$): $a^k$
• $a^{-k}=(a^{-1})^k \ (k\in\mathbb{N})$
• $a^0=e$ 또는 $a^0=1$

 

위 표기에 따르면 정수에 대한 지수법칙이 성립한다.

 

$(G, +)$이 아벨군일 때,

• 항등원: $e$ 또는 $0$
• 역원: $-a$
• $a$ $k$개에 연산을 한 것($k\in\mathbb{N}$): $ka$
• $(-k)a=k(-a) \ (k\in\mathbb{N})$
• $0a=e$ 또는 $0a=0$

 

위 표기에 따르면 $(n+m)a=na+ma$, $(nm)a=n(ma)$가 성립한다.

 

 

이 장에서는 표기나 정의에 대해서 주로 다뤘다. 다음으로는 준동형 사상과 몇 가지 군의 중요한 예시들을 다룰듯 하다.